级数。这里 $u_k$ 符号交替。此外，如果各项的大小递减并趋于零，

$$|u_n| < |u_{n-1}| \quad \text{for all } n, \quad \text{with } u_n \rightarrow 0 \quad \text{as } n \rightarrow \infty$$

则该级数收敛。于是

$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$$

我们将其写作

$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = 1 + (-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}) + (-\frac{1}{6}) + \dots$$

收敛。其和为 $\ln 2$ ，我们将在下一节中证明。相应的正项级数 $\sum_{k=1}^{\infty} (1/k)$ 当然是发散的（见例 7.26b）。

7.6.4 习题

41 判断下列几何级数中哪些是收敛的。

(a) $2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} + \dots + \frac{2}{3^k} + \dots$

(b) $4 - 2 + 1 - \frac{1}{2} + \dots + \frac{(-1)^k 4}{2^k} + \dots$

(c) $10 + 11 + \frac{121}{10} + \frac{1331}{100} + \dots + 10(\frac{11}{10})^k + \dots$

(d) $1 - \frac{5}{4} + \frac{25}{16} - \frac{125}{64} + \dots + (\frac{-5}{4})^k + \dots$

42 证明：如果

$$T_n = a + 2ar + 3ar^2 + 4ar^3 + \dots + nar^{n-1}$$

则 $(1 - r)T_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} - nar^n$
推导出

$$T_n = \frac{a(1 - r^n)}{(1 - r)^2} - \frac{nar^n}{1 - r}$$

证明：如果 $|r| < 1$ ，则 $T_n \rightarrow a/(1 - r)^2$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时。由此求无穷级数的和

$$1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{27} + \frac{5}{81} + \dots + \frac{k}{3^{k-1}} + \dots$$

43 对于下列每个级数，求其前 $N$ 项之和，并令 $N \rightarrow \infty$ ，证明该无穷级数收敛并给出其和。

(a) $\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \dots$

(b) $\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \frac{5}{2^4} + \dots$

(c) $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + \dots$

44 下列哪些级数是收敛的？

(a) $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k$ (b) $-\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \dots$

(c) $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k + 1}$

45 通过与级数 $\sum_{k=2}^{\infty} [1/k(k-1)]$ 且 $\sum_{k=2}^{\infty} [1/k(k+1)]$ ，证明 $S = \sum_{k=2}^{\infty} (1/k^2)$ 收敛，且 $\frac{1}{2} < S < 1$ 。

（事实上， $\sum_{k=1}^{\infty} (1/k^2) = S + 1 = \frac{1}{6}\pi^2$ 。）

46 证明 $0.5\dot{7}$ （即 $0.575757\dots$ ）可以表示为 $57 \times 10^{-2} + 57 \times 10^{-4} + \dots$ ，因此 $0.5\dot{7} = 57\sum_{r=1}^{\infty} 100^{-r}$ 。由此将 $0.5\dot{7}$ 表示为有理数。用类似的方法将下列各数表示为有理数

(a) $0.4\dot{1}\dot{3}$ (b) $0.101010\dots$
(c) $0.999999\dots$ (d) $17.2317231723\dots$

47 考虑级数 $\sum_{r=1}^{\infty} k^{-p}$ 。利用不等式（ $p > 0$ )

$$\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} < \frac{2}{2^p}$$

$$\frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p} + \frac{1}{6^p} + \frac{1}{7^p} < \frac{4}{4^p}$$

$$\frac{1}{8^p} + \frac{1}{9^p} + \frac{1}{10^p} + \frac{1}{11^p} + \frac{1}{12^p} + \frac{1}{13^p}$$

$$+ \frac{1}{14^p} + \frac{1}{15^p} < \frac{8}{8^p}$$