等等，由此推出该级数在以下情况收敛 $p > 1$ 。证明它在以下情况发散 $p \leq 1$ 。

48 在一台精确到八位数字的计算机上，对和式 $\sum_{k=1}^{\infty} k^{-4}$ 进行了两次求值尝试。第一种方法从左到右求和；第二种方法从右到左求和。第一种方法得到结果 1.082 320 2，第二种得到 1.082 322 1。哪个是更好的近似值，为什么？

49 证明

$$1 + \frac{1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \dots + \frac{1}{72^4}$$

并由此推出

$$\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k^4} - \frac{1}{8} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4}$$

由此推出，通过计算

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} = \frac{7}{8} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4}$$

得到的和式 $\sum_{k=1}^{\infty} k^{-4}$ 的误差的模小于 $\frac{8}{7} \sum_{k=1}^N (-1)^k k^{-4}$ 7.7 幂级数

幂级数经常出现在实际问题的求解中，正如我们将在第 9 章及其他地方看到的那样。它们常被用来确定系统对设计参数微小变化的敏感性，检验当出现微小变化时（现实生活中总会出现）这类系统是否稳定。幂级数所涉及的基本数学是前面所考虑级数的自然推广。

形如以下的级数 $\frac{8}{7}(N+1)^{-4}$ .

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_nx^n + \dots$$

其中 $a_0, a_1, a_2, \dots$ 与……无关 $x$ 称为幂级数。

7.7.1 幂级数的收敛性

一般而言，幂级数对某些 $x$ 的值收敛，而在其他值处发散。对上述级数应用达朗贝尔比值判别法，可知当

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| < 1$$

时该级数绝对收敛。因此，该级数在

$$|x| \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1$$

时收敛，即当

$$|x| < \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$