记 $\lim_{n \rightarrow \infty} |a_n/a_{n+1}|$ 为 $r$ ，我们看到该级数在 $-r < x < r$ 时绝对收敛，在 $x < -r$ 和 $x > r$ 时发散。极限 $r$ 称为该级数的收敛半径。在 $x = \pm r$ 处的性态需要用其他方法确定。

出现的各种情形见例 7.29。

例 7.29

例 7.29 求级数的收敛半径

$$(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \quad (b) \sum_{n=1}^{\infty} n^n x^n$$

解

解 (a) 此处 $a_n = 1/n$ , 使得 $|a_n/a_{n+1}| = (n+1)/n$ 且 $r = 1$ 。因此该级数的绝对收敛域为 $-1 < x < 1$ 。级数在 $|x| > 1$ 时发散，以及在 $x = 1$ 时也发散。在 $x = -1$ 处，级数为

$$-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

，它收敛于 $\ln \frac{1}{2}$ （见下文 7.6.3 节及公式 (7.18)）。因此级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \dots$$

在 $-1 \leq x < 1$ 。

(b) 因此 $a_n = n^n$ 且

$$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \frac{1}{n+1}$$

现在

$$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{(1+1/n)^n} \rightarrow e^{-1} \quad \text{as } n \rightarrow \infty \text{ (see Example 7.24)}$$

且

$$\frac{1}{n+1} \rightarrow 0 \quad \text{as } n \rightarrow \infty$$

使得 $a_n/a_{n+1} \rightarrow 0$ 作为 $n \rightarrow \infty$ 。因此该级数仅在 $x = 0$ 处收敛，在其他各处发散。