7.7.2 特殊幂级数

幂级数可以在它们共同的收敛域内（只要分母在此公共域内不为零）进行加法、乘法和除法运算，得到收敛的幂级数，这些性质常被用来将给定的幂级数表示为标准级数的形式，并求出复杂函数的幂级数展开式。

四个应用广泛的初等幂级数是

(a) 几何级数

$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + \dots \quad (-1 < x < 1) \quad (7.15)$$

(b) 二项式级数

$$(1+x)^r = 1 + \binom{r}{1}x + \binom{r}{2}x^2 + \binom{r}{3}x^3 + \dots + \binom{r}{n}x^n + \dots \quad (-1 < x < 1) \quad (7.16)$$

其中

$$\binom{r}{n} = \frac{r(r-1)\dots(r-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n}$$

是二项式系数。

在级数 (7.16) 中 $r$ 是任意实数。当 $r$ 是正整数时，设其为 $N$ ，级数终止于项 $x^N$ ，我们就得到了第 1 章讨论过的二项式展开。当 $r$ 不是正整数时，级数不终止。

我们可以看到，令 $r = -1$ 给出

$$(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 + \frac{(-1)}{1}x + \frac{(-1)(-2)}{1 \cdot 2}x^2 + \frac{(-1)(-2)(-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^3 + \dots$$

化简为几何级数

$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$$

因此几何级数可以看作二项式级数的一个特例。

注 （该级数常写作 $(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + O(x^4)$ ，其中 $O(x^4)$ 表示包含 $x$ 的更高次幂（大于或等于 4）的项。）

类似地，

$$(1+x)^{-2} = 1 + \frac{(-2)}{1}x + \frac{(-2)(-3)}{1 \cdot 2}x^2 + \frac{(-2)(-3)(-4)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^3 + \dots$$

化简为算术-几何级数

$$\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots$$