因此

$$T(\lambda) - S(\lambda)^2 = \lambda$$

这些结果表明泊松概率分布的均值和方差都等于 $\lambda$ （见第 13.5.2 节）。

如我们所知，在 MATLAB 中可以使用 symsum 命令对级数求和。对于例 (7.31)，级数和为

syms x k
S = symsum(x^(k-1)/factorial(2*(k-1)), k, 1, inf)
giving
S = cosh(x^(1/2))

7.7.3 习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

50 当 $x$ 取何值时，下列级数收敛？

(a) $\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1)x^n$

(b) $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$

(c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$

(d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{1+n^2}x^n$

51 由已知级数推导下列结果：

(a) $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots$

(b) $\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7 + \dots$

(c) $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - \dots$

(d) $\sqrt{(1-x)} = 1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 - \dots$

(e) $\frac{1}{(1-2x)(2+x)} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x + \frac{13}{8}x^2 + \frac{51}{16}x^3 + \dots$

(f) $\frac{1}{(1-x)(1+x^2)} = 1 + x + x^4 + x^5 + \dots$

在每种情况下给出通项和收敛半径。

52 计算二项式系数

(a) $\binom{5}{2}$ (b) $\binom{-2}{3}$

(c) $\binom{1/2}{3}$ (d) $\binom{-1/2}{4}$

53 由已知级数推导下列结果（不要求给出通项）：

(a) $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \dots$

(b) $\cos^2 x = 1 - \frac{2x^2}{2!} + \frac{2^3 x^4}{4!} - \frac{2^5 x^6}{6!} + \dots$

(c) $e^x \cos x = 1 + x - \frac{2x^3}{3!} - \frac{2x^2 x^4}{4!} - \frac{2x^2 x^5}{5!} + \dots$

(d) $\ln(1 + \sin x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{12}x^4 + \dots$