54 证明 $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x} \quad (x \neq 1)$$

由此推导出 $(1-x)^{-1}$ 的一个多项式近似式，其误差的模小于 $0.5 \times 10^{-4}$ 当 $0 \leq x \leq 0.25$ 时。

利用嵌套乘法，根据你的近似式计算 0.84 的倒数，精确到 4 位小数，并将你的答案与计算器给出的值进行比较。在这种情况下需要多少次乘法？

55 求下列幂级数的和：(a) $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k 2^k x^{2k}$

(b) $1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}x^4 + \dots$

(c) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k(k+1)}$

(d) $\frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{5}x^5 + \dots$ 56 一个正 $n$ 边形内接于直径为 1 的圆。证明其周长 $p_n$ 由下式给出 $$p_n = n \sin \frac{\pi}{n}$$

利用正弦的级数展开，证明

$$\pi = p_n + \frac{\pi^3}{3!} \frac{1}{n^2} - \frac{\pi^5}{5!} \frac{1}{n^4} + \dots$$

并由此推出

$$\pi = \frac{1}{3}(4p_{2n} - p_n) + \frac{1}{4} \frac{\pi^5}{5!} \frac{1}{n^4} + \dots$$

已知 $p_{12} = 3.1058$ 和 $p_{24} = 3.1326$ ，利用这个结果得到 $\pi$ .

7.8 实变量的函数

到目前为止，本章我们一直专注于数列与级数。数列的项可以看作定义了一个其定义域为整数子集的函数，例如 $\mathbb{N}$ 。现在我们转向对数学建模与问题求解至关重要的基本性质，同时我们也将为后续章节发展一些必要的基础数学。

7.8.1 实变量函数的极限

极限的概念可以自然地推广到实变量函数的情形：

若对于任意给定的正小量，函数 $f(x)$ 被称为趋近于极限 $l$ 当 $x$ 趋近于值 $a$ 时，如果给定任意小的正量 $\varepsilon$ , 可以找到一个正数 $\delta$ 使得 $|f(x) - l| < \varepsilon$ 对于所有 $x$ 满足 $0 < |x - a| < \delta$ 。

不那么正式地说，这意味着我们可以通过取 $f(x)$ 足够接近于 $l$ ，使 $x$ 的值任意接近于 $a$ 。注意，使用正式定义时，无需计算 $f(a)$ ；事实上， $f(a)$ 可能等于也可能不等于 $l$ 。当 $f$ 时的极限值 $x \rightarrow a$ 只取决于附近的值！

例 7.33

使用计算器，考察 $f(x)$ 在 $x = 0$ 附近的值，其中

$$f(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{(1+x)}}, \quad x \neq 0$$