解答 注意到 $f(x)$ 在以下位置无定义： $x = 0$ 。在附近的取值处， $x$ 我们可以计算 $f(x)$ ，一些数值如图 7.14 所示。

图 7.14
以下数值精确到 6 位小数： $f(x)$ 。

看起来当 $x$ 趋近于 0 时， $f(x)$ 趋近于 -2。事实上，可以证明对于 $0 < |x| < 2\epsilon - \epsilon^2$ , $|f(x) + 2| < \epsilon$ ，因此

$$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -2.$$

注释 注意，这是一个为了说明概念和理论而设计的相当人为的例子。在这种情况下，我们可以将公式改写为 $f(x)$ 得到

$$f(x) = \frac{x(1 + \sqrt{(1+x)})}{(1 - \sqrt{(1+x)})(1 + \sqrt{(1+x)})}$$

由此可得

$$f(x) = \frac{x(1 + \sqrt{(1+x)})}{1 - (1+x)} = -(1 + \sqrt{(1+x)})$$

由此显然可以看出 $f(x) \rightarrow -2$ 为 $x \rightarrow 0$ 。

极限的基本运算法则（列于第 7.5.2 节）可以由数列的法则推广而来，这些法则使我们能够通过化归为标准情形来求许多极限。一些常见的标准极限是

• (i) $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^r - a^r}{x - a} = ra^{r-1}$ ，其中 $r$ 是一个实数
• (ii) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ，其中 $x$ 以弧度为单位
• (iii) $\lim_{h \rightarrow 0} (1 + xh)^{1/h} = e^x$

这些结果可以由 7.7.2 节的结果推导得出。例如，考虑 $x^r - a^r$ 。由于 $x \rightarrow a$ ，设 $x = a + h$ 。那么当 $x \rightarrow a$ , $h \rightarrow 0$ 。我们有

$$x^r - a^r = a^r \left( 1 + \frac{h}{a} \right)^r - a^r \quad (a \neq 0)$$