展开 $(1 + h/a)^r$ 利用二项级数 (7.16) 展开，我们得到

$$x^r - a^r = \frac{r}{1!} h a^{r-1} + \frac{r(r-1)}{2!} h^2 a^{r-2} + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} h^3 a^{r-3} + \dots$$

但是 $x - a = h$ ，所以

$$\frac{x^r - a^r}{x - a} = r a^{r-1} + \frac{r(r-1)}{2!} h a^{r-2} + \dots$$

并令 $h \rightarrow 0$ 即得结果 (i)

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^r - a^r}{x - a} = r a^{r-1}$$

（当 $a = 0$ 时，结果显然成立。）

结果 (ii) 的推导更为简单。级数展开

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$$

给出

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

图 7.15
几何
解释

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$

(ii) 的几何解释见图 7.15。OAB 是单位半径的圆的一个扇形，其角度为 $x$ （以弧度计）。那么

的面积为 $\Delta OBD < \text{area of sector OBA} < \text{area of } \Delta OCA$

在代数上，我们有

$$\frac{1}{2} \sin x \cos x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x$$

考虑 $x > 0$ ，我们可以将其写为

$$1 < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}$$

当 $x \rightarrow 0$ , $\cos x \rightarrow 1$ 时，因此 $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$ 也成立。

结果 (iii) 由二项式级数得到：

$$\begin{aligned} (1 + xh)^{1/h} &= 1 + \frac{1}{1!} \frac{1}{h} xh + \frac{1}{2!} \frac{1}{h} \left( \frac{1}{h} - 1 \right) (xh)^2 + \frac{1}{3!} \frac{1}{h} \left( \frac{1}{h} - 1 \right) \left( \frac{1}{h} - 2 \right) (xh)^3 + \dots \ &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2(1-h)}{2!} + \frac{x^3(1-h)(1-2h)}{3!} + \dots \end{aligned}$$

并且当 $h \rightarrow 0$ ,

$$(1 + xh)^{1/h} \rightarrow 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = e^x$$