例 7.34 求下列极限：

$$(a) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(1+x^2)-1}}{x^2} \quad (b) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$$

解 (a) 方法 1： 展开 $\sqrt{(1+x^2)-1}$ 用二项式级数 (7.16)，得到

$$\sqrt{(1+x^2)-1} = (1+x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + \dots$$

因此

$$\frac{\sqrt{(1+x^2)-1}}{x^2} = \frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + \dots}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8}x^2 + \dots$$

于是

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(1+x^2)-1}}{x^2} = \frac{1}{2}$$

方法 2： 将分子和分母同乘以 $\sqrt{(1+x^2)} + 1$ ，得到

$$\frac{[\sqrt{(1+x^2)} - 1][\sqrt{(1+x^2)} + 1]}{x^2[\sqrt{(1+x^2)} + 1]} = \frac{(1+x^2) - 1}{x^2[\sqrt{(1+x^2)} + 1]} = \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)} + 1}$$

现在令 $x \rightarrow 0$ ，得到

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(1+x^2)} - 1}{x^2} = \frac{1}{2}$$

(b) 方法 1： 替换 $\cos x$ 通过其幂级数展开（见图 7.13），

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} - \dots$$

得到

$$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{x^2/2! - x^4/4! + x^6/6! - \dots}{x^2} = \frac{1}{2!} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \dots$$

因此

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

方法 2： 使用半角公式 $\cos x$ （见 2.7d），我们有

$$1 - \cos x = 2 \sin^{2\frac{1}{2}} x$$

所以

$$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2 \sin^{2\frac{1}{2}} x}{x^2} = 2 \left( \frac{\sin \frac{1}{2} x}{x} \right)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \varphi}{\varphi} \right)^2 \quad \text{where } \varphi = \frac{1}{2}x$$