设 $x \rightarrow 0$ ，我们有 $\varphi \rightarrow 0$ 和 $(\sin \varphi)/\varphi \rightarrow 1$ ，使得

$$\frac{1 - \cos x}{x^2} \rightarrow \frac{1}{2}$$

例 7.35 半径为 $a$ 的球的体积是 $4\pi a^3/3$ 。证明：构造一个内半径为 $a$ 、外半径为 $a + t$ 的空心球所用材料的体积是

$$V = 4\pi(3a^2t + 3at^2 + t^3)/3$$

由此推导出半径为 $a$ 是 $S = 4\pi a^2$ 并证明它等于外接圆柱的曲面面积。

解答

$$V = \frac{4\pi}{3}[(a + t)^3 - a^3] = \frac{4\pi}{3}[a^3 + 3a^2t + 3at^2 + t^3 - a^3]$$

$$= \frac{4\pi}{3}(3a^2t + 3at^2 + t^3)$$

该体积 $V$ 近似等于内切球的表面积 $S$ 乘以厚度 $t$ 。即，

$$V = St + O(t^2)$$

因此

$$S = V/t + \mathbf{O}(t) = \frac{4\pi}{3}(3a^2 + 3at + t^2) + \mathbf{O}(t)$$ 当 $t \rightarrow 0$ 趋于极限时，得到

现在当 $t \rightarrow 0$ , 给出

$$S = 4\pi a^2$$

包围圆柱的半径为 $a$ 其高度为 $2a$ 因此其侧面积为

$$(2\pi a) \times (2a) = 4\pi a^2$$

如图 7.16 所示。

7.8.2 单侧极限

在某些应用中我们需要使用单侧极限，例如

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{x} = 0$$ （当 $x$ 从上方趋于零时）

在此例中， $\lim_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{x}$ （当 $x$ 从下方趋于零时）不存在，因为的定义域中没有负数 $\sqrt{x}$ . 当我们写

图 7.16
例 7.35 中的
封闭圆柱体。