例 7.34 的极限可按如下方式求值：

syms x

limit((sqrt(1 + x^2) – 1)/x^2,x,0)

得到 ans = 1/2，而

limit((1 – cos(x))/x^2,x,0)

得到 ans = 1/2

对于例 7.36，左极限和右极限确定如下：

syms x

limit((x^2 – x^3)^(1/2)/x,x,0, 'left')

得到 ans = –1，而

limit((x^2 – x^3)^(1/2)/x,x,0,'right')

得到 ans = 1

注意：命令 sqrt 也可用来表示平方根项。

57 求下列极限：

$$(a) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(1+x)} - \sqrt{(1-x)}}{3x}$$

(b) $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x \sin x - x}{x^3}$$

(c) $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{x}$$

(d) $$\lim_{x \rightarrow \pi/2} (\sec x - \tan x)$$

58 证明

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{y \rightarrow 0^+} f\left(\frac{1}{y}\right)$$

因此求出

(a) $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^2 - x - 2}{x^2 - 1}$$

(b) $$\lim_{x \rightarrow \infty} x(\sqrt{1 + x^2}) - x$$

59 求下列极限：

$$(a) \lim_{x \rightarrow 0^-} \tanh \frac{1}{x} \quad (b) \lim_{x \rightarrow 0^+} \tanh \frac{1}{x}$$

(c) $$\lim_{x \rightarrow n-} [x] \quad (n \in \mathbb{Z})$$

(d) $$\lim_{x \rightarrow n+} [x] \quad (n \in \mathbb{Z})$$

60 （仔细地）画出下列图形

(a) $$xe^{-x}$$      (b) $x^2e^{-x}$      (c) $x^3e^{-x}$

对于 $0 \leq x \leq 5$ 。利用 $e^x$ 的级数展开式证明 $x^n e^{-x} \rightarrow 0$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时对所有 $n \in \mathbb{Z}$ 。

61 使用计算器计算函数 $f(x) = x^x$ 对于 $x = 1, 0.1, 0.01, \dots, 0.000000001$ 。这些计算对于 $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ 有何提示？

由于 $x^x = e^{x \ln x}$ ，此极限的值与 $\lim_{x \rightarrow 0^+} (x \ln x)$ 相关。通过设 $x = e^{-y}$ 并利用第 60 题的结果，证明当 $x^x \rightarrow 1$ 时， $x \rightarrow 0^+$ .

7.8.3 习题

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