7.9 实变量函数的连续性

在第2章中，我们研究了初等函数的性质。这些函数常常通过图像来描述。从函数的图像表示中可以清楚看出的一种性质就是连续性。考虑图7.18中所示图像的两个函数。对于函数 $f(x)$ 我们可以不把铅笔从纸上抬起而画出整条曲线，但对于函数 $g(x)$ 却无法做到。函数 $f(x)$ 被称为处处连续，而 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处有一个间断点。早先（见第2.8.3节），我们描述了几个用于建模实际问题的函数，它们具有与函数 $g(x)$ 类似的间断点。其中最重要的是亥维赛单位函数

$$H(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \ 1 & (x \geq 0) \end{cases}$$

它在 $x = 0$ 处有一个间断点。

对于在一点的邻域内定义的函数 $f(x)$ ，连续性的正式数学定义如下 $x = x_0$ 而在这点本身处就是

$$f(x) \rightarrow f(x_0) \quad \text{as } x \rightarrow x_0$$

具有此性质的函数被称为在 $x = x_0$ 处连续。

连续函数有一些非常特殊的性质，我们现在将其列出。

7.9.1 连续函数的性质

若 $f(x)$ 在区间内连续 $[a, b]$ 则它具有以下性质。

(a) $f(x)$ 是一个有界函数：存在数 $m$ 和 $M$ 使得

$$m < f(x) < M \quad \text{for all } x \in [a, b]$$

满足此关系的任何数分别称为下界和上界。

(b) $f(x)$ 在……上有一个最大值和一个最小值 $[a, b]$ 。 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值，最大值称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值，两者之差称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的振幅。这在图 7.19 中作了说明。

(c) $f(x)$ 在介于其最小值和最大值之间的某处取到介于 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的每个值。这一性质被称为介值定理。

图 7.18
函数
(a) $f(x) = x(x^2 - 1)$
和 (b) 的图像 $g(x) =$
$\tan^{-1}(1/x)$ , $x \neq 0$ .