• (d) 若 $a \leq x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \dots \leq x_n < b$ ，则存在一个 $X \in [a, b]$ 使得

$$f(X) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n}$$

此性质称为平均值定理。

• (e) 给定 $\varepsilon > 0$ ，区间 $[a, b]$ 可以被分成若干个小区间，使得函数在每个小区间上的振幅小于 $\varepsilon$ 。

  (f) 给定 $\varepsilon > 0$ ，存在 $[a, b]$ , $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$ 的一个分割，使得在每个小区间上 $(x_i, x_{i+1})$

$$\left| f(x) - \left[ f_i + (x - x_i) \frac{f_{i+1} - f_i}{x_{i+1} - x_i} \right] \right| < \varepsilon, f_i = f(x_i)$$

也就是说，通过制作足够精细的子表，我们可以表示 $f(x)$ 通过局部线性插值，使其误差不超过任意给定的误差界。

• (g) 给定 $\varepsilon > 0$ , $f(x)$ 可以在区间上被一个适当次数的多项式逼近，使得 $[a, b]$ 这就是所谓的魏尔斯特拉斯定理。但请注意，该定理并未告诉我们如何求得

$$|f(x) - p_n(x)| < \varepsilon \quad \text{for } x \in [a, b]$$

。

前面列出的极限性质（见 7.5.2 节）使我们能够确定由连续函数组合而成的函数的连续性。因此，如果 $p_n(x)$ 和 $f(x)$ 是连续函数，那么函数 $g(x)$ ，其中也是连续函数，这里

• (a) $af(x)$ $a$ 是一个常数
• (b) $f(x) + g(x)$
• (c) $f(x)g(x)$
• (d) $f(x)/g(x)$ ，除非在 $g(x) = 0$

复合函数也 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续，如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 $f(x)$ 在 $x = g(x_0)$ 处连续。

连续函数的一些性质在例 7.37 和习题 7.9.4 中予以说明。

例 7.37 证明 $f(x) = 2x/(1 + x^2)$ 对于 $x \in \mathbb{R}$ 在其整个定义域上连续。求其最大值和最小值，并证明它取到这两个极值之间的每一个值。

图 7.19
函数的振荡。