图 7.20
图像 $2x/(1+x^2)$ .

解 该函数的图像如图 7.20 所示，由此可以看出所示部分是一条连续曲线。也就是说，我们可以把铅笔放在图像左端的点 A 处，沿着曲线的全程描画到右端的点 B，而不必把铅笔从纸面上抬起。我们可以更正式地证明如下。选取函数定义域中的任意一点 $x_0$ 。那么我们需要证明，通过取 $|f(x) - f(x_0)|$ 充分接近 $x$ ，可以使 $x_0$ 任意小。现在

$$\frac{2x}{1+x^2} - \frac{2x_0}{1+x_0^2} = \frac{2x(1+x_0^2) - 2x_0(1+x^2)}{(1+x^2)(1+x_0^2)} = \frac{2(1-xx_0)(x-x_0)}{(1+x^2)(1+x_0^2)}$$

$$\rightarrow 0 \quad \text{as } x \rightarrow x_0$$

这意味着 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，又因为 $x_0$ 是定义域中的任意一点，所以可得 $f(x)$ 对所有 $x$ 都连续。

然后为了证明该函数取给定值 $y$ 我们需要求解方程 $y = f(x)$ 用 $x$ 来表示 $y$ 。因此在这个例子中

$$y = \frac{2x}{1+x^2} \quad \text{gives} \quad yx^2 - 2x + y = 0$$

现在我们求解方程中的 $x$ 用 $y$ 来表示

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{(1-y^2)}}{y}, \quad y \neq 0 \text{ and } -1 \leq y \leq 1$$

。由此我们得到 $x$ 对于每个 $y \in (-1, 1)$ , $y \neq 0$ 。显然 $y = 0$ 在以下情况下也成立： $x = 0$ 。的最大值和最小值分别为 $y$ 和 $-1$ ，而对应的 $x$ 的值分别为 $-1$ 和 $f(x)$ 。因此

在其定义域上是连续函数，并且它取得最大值、最小值以及介于两者之间的每一个值。 $f(x)$ 是例 7.37 中的一个连续函数，可用于证明多项式、有理函数（分母为零的点除外）以及许多超越函数在其定义域上连续。我们在解题时常常不自觉地利用连续函数的性质！例如，在解方程时，我们把根夹在两点 $x_1$ 和 $x_2$ 之间，其中 $f(x_1) < 0$ 和 $f(x_2) > 0$ ，然后得出所求的根位于 $x_1$ 和 $x_2$ 之间。