图 7.21 的图像 $\tan^{-1}(1/x)$ , $x \neq 0$ .

图 7.22 的图像 $\sin x = (\sin x)/x$ 。

这里对连续性的需要由以下函数的图像所示 $y = \tan^{-1}(1/x)$ （图 7.21）。不存在 $x$ 对应的 $y = 0$ 值，尽管事实上 $\tan^{-1}(1/0.01)$ 为正且 $\tan^{-1}[1/(-0.01)]$ 为负。

类似地，在求函数 $y = f(x)$ 的最大值或最小值时，在许多实际情况下，我们只需得到一个接近真正最优值的解即可满足，而上述性质 (e) 告诉我们，我们可以使该值任意接近最优值。有时我们利用连续性的概念来填补函数定义中的“空隙”。一个简单的例子是 $f(x) = (\sin x)/x$ 对于 $x \neq 0$ . 此函数在除 $x = 0$ 处外处处有定义。我们可以通过要求它在 $x = 0$ 处连续，将其扩展为包含 $x = 0$ 。由于 $(\sin x)/x \rightarrow 1$ 当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ ，将

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \ 1 & (x = 0) \end{cases} \quad (7.19)$$

定义为 $f(x)$ 便得到一个定义域中没有“空隙”的函数。式 (7.19) 中的函数

$$\text{sinc } x = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \ 1 & (x = 0) \end{cases}$$

被称为sinc 函数；即，

$$g(x) = \frac{x}{\sin x} \quad (x \neq n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$$

可以将其定义域扩展以包含这些点 $x = n\pi$ ，但在这些点处它总会有间断（也许除了 $x = 0$ ）。因此

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x} & (x \neq n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \ 1 & (x = 0) \ 0 & (x = n\pi, n = \pm 1, \pm 2, \dots) \end{cases}$$