解法 假设在 $x = 0$ 处精确匹配，我们立即推出 $a = A$ 。另外，我们知道 $1/e^x = e^{-x}$ ，并假设近似值

$$\frac{A - Bx + Cx^2}{a - bx + cx^2} \equiv \frac{a + bx + cx^2}{A + Bx + Cx^2}$$

也满足类似的关系 $A = a$ 如果我们选择 $B = -b$ （如上所述）， $C = c$ 以及

$$e^{-x} \approx \frac{A - Bx + Cx^2}{A + Bx + Cx^2}$$

，则上式成立，得到 $x$ 由此我们可以看出，可以将等式两边表示为关于 的幂级数（至少在某个受限区域内）。我们可以改写这个近似式使其变为精确式：

$$(A + Bx + Cx^2)e^{-x} = (A - Bx + Cx^2) + px^3 + qx^4 + rx^5 + \dots$$

其中 $p, q, \dots$ 可以找到。

将 $e^{-x}$ 用其幂级数表示代入，我们得到

$$\begin{aligned} & (A + Bx + Cx^2)(1 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{120}x^5 + \dots) \ & = A - Bx + Cx^2 + px^3 + qx^4 + rx^5 + \dots \end{aligned}$$

将左边展开并合并同类项，我们得到

$$\begin{aligned} & A + (B - A)x + (\frac{1}{2}A - B + C)x^2 + (-\frac{1}{6}A + \frac{1}{2}B - C)x^3 \ & \quad + (\frac{1}{24}A - \frac{1}{6}B + \frac{1}{2}C)x^4 + (-\frac{1}{120}A + \frac{1}{24}B - \frac{1}{6}C)x^5 + \dots \ & = A - Bx + Cx^2 + px^3 + qx^4 + rx^5 + \dots \end{aligned}$$

比较方程两边 $x$ 的各次幂的系数，得到

$$\begin{aligned} A &= A \ B - A &= -B \ \frac{1}{2}A - B + C &= C \ -\frac{1}{6}A + \frac{1}{2}B - C &= p \ \frac{1}{24}A - \frac{1}{6}B + \frac{1}{2}C &= q \ -\frac{1}{120}A + \frac{1}{24}B - \frac{1}{6}C &= r \end{aligned}$$

等等。

由此我们看到， $A, B$ 和 $C$ 的解并不唯一，而是可以（部分或全部）任意选取。取 $A = 1$ 得到 $B = \frac{1}{2}$ 以及 $\frac{1}{12} - C = p$ 。设置 $p = 0$ 将使误差项在 $x = 0$ 附近更小，因此我们采用该选择，得到 $C = \frac{1}{12}$ 。这给出 $q = 0$ 以及 $r = -\frac{1}{720}$ 。于是

$$(1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2)e^{-x} = (1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2) - \frac{1}{720}x^5 + \dots$$

从而使得

$$\begin{aligned} e^{-x} &= \frac{1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2}{1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2} - \frac{\frac{1}{720}x^5 + \dots}{1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2} \ &= \frac{12 - 6x + x^2}{12 + 6x + x^2} - \frac{1}{720}x^5 + \dots \end{aligned}$$