误差的主项， $-\frac{1}{720}x^5$ ，使我们能够确定该近似公式的适用范围。例如，如果我们要求近似值精确到小数点后 4 位，我们需要 $\frac{1}{720}x^5$ 小于 $\frac{1}{2} \times 10^{-4}$ 。因此，近似公式

$$e^{-x} \approx \frac{12 - 6x + x^2}{12 + 6x - x^2}$$

对于 $|x| < 0.51$ 给出精确到小数点后 4 位的结果。

这一特定的近似公式被控制工程师用来将线性系统技术应用于对其动力学中具有时间延迟的系统的分析与设计。由于分子和分母的次数均为 2，因此这被称为 (2, 2) 帕德（Padé）近似。

作为一道拓展练习，读者应求出以下 (1, 1) 和 (3, 3) 帕德近似：

$$e^{-x} \approx \frac{2-x}{2+x} \quad \text{and} \quad e^{-x} \approx \frac{120-60x+12x^2-x^3}{120+60x+12x^2+x^3}$$

7.12 复习题（1–25）

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

1 评估损耗性资产价值的方法有两种。第一种假设资产每年减少一个固定金额；第二种假设资产每年按固定百分比折旧。

一台设备成本为 1000 英镑，“使用寿命”为六年，六年后的残值为 100 英镑。请用这两种方法估算该设备在中间各年的价值。

2 一台成本为 1000 英镑的机器，工作寿命为三年，之后便毫无价值，必须更换。它在使用期间每年为业主节省 500 英镑。证明三年内业主真正节省的总额 £S 为

$$S = 500 \left[ \frac{1}{1 + r/100} + \frac{1}{(1 + r/100)^2} + \frac{1}{(1 + r/100)^3} - 1000 \right]$$

其中 $r%$ 为当前利率。估算 5 对于 $r = 5$ , 10、15 和 20。这台机器何时才真正为业主省钱？

3 某产品在市场价格为 P 时的供给 S(P) 与需求 D(P) 的经济模型由下式给出

$$D(P) = 2 - P$$

$$S(P) = = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}P$$

以及

$$D(P_{t+1}) = S(P_t)$$

（即供给滞后于需求 1 个时间单位）。证明

$$P_{t+1} - 1 = -\frac{1}{2}(P_t - 1)$$

并由此推出

$$P_t = 1 + (-\frac{1}{2})'(P_0 - 1)$$

求对应于下列条件的递推关系的特解 $P_0 = 0.8$ 并用蛛网图将其画出。该产品的稳态价格是多少？

4 证明

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{T_k} = \frac{T_{n-1} + T_n}{T_n}$$

其中 Tk 是第 k 个三角形数。（见习题 7.2.3 中的第 4 题。）

5 求下列线性递推关系的通解：

(a) $$f_{n+2} - 5f_{n+1} + 6f_n = 0$$ (b) $f_{n+2} - 4f_{n+1} + 4f_n = 0$

(c) $$f_{n+2} - 5f_{n+1} + 6f_n = 4^n$$ (d) $f_{n+2} - 5f_{n+1} + 6f_n = 3^n$