6 假设第 $t$ , $C_t$ 期的消费者支出与两期之前的个人收入 $I_{t-2}$ 相关，关系式为

$$C_t = 0.875 I_{t-2} - 0.2 C_{t-1} \quad (t \geq 2)$$

推导：如果个人收入每期按 1.05 的倍数增长，即

$$I_{t+1} = 1.05 I_t$$

那么 $I_t = 1.05'I_0$ 从而

$$C_t = (C_1 - 0.7I_0)(-0.2)^{t-1} + 0.7I_0(1.05)^{t-1}$$

描述 Ct 的长期行为。

7 一位经济学家认为季节性商品在第 t 期的价格 Pt 满足递推关系

$$P_{t+2} = 2(P_{t+1} - P_t) + C \quad (t \geq 0)$$

其中 C 是正常数。

证明

$$P_t = A(1 + j)' + B(1 - j)' + C$$

其中 A 和 B 是共轭复常数。

其中 $C$ 是正常数。
证明
$$P_t = A(1 + j)' + B(1 - j)' + C$$

其中 $A$ 和 $B$ 是一对共轭复常数。
注意到 $1 \pm j = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} \pm j \sin\frac{\pi}{4})$ ，解释为什么经济8 将蛛网模型应用于农产品时，假设当期供给取决于上一季度的价格。若 Pt 表示任一时期的市场价格，QSt、QDt 表示该时期的供给和需求，则

$$Q_{D_l} = 180 - 0.75P_l$$

$$Q_{St} = -30 + 0.3P_{t-1} \quad \text{where } P_0 = 220$$

求市场价格并对其形式加以评论。

9 求解国民收入 Yt，其由以下递推关系组给出

$$Y_t = 1 + C_t + I_t$$

$$C_t = \frac{1}{2} Y_{t-1}$$

$$I_t = 2(C_t - C_{t-1})$$

对你的解加以评论。

10 一个数列定义为

$$a_k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} - \ln k \quad (k = 1, 2, \dots)$$

已知 $a_{10} = 0.626\ 383$ , $a_{16} = 0.608\ 140$ 和

$$a_{20} = 009, \text{ estimate } \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n, \text{ using}$$

反复线性外推。（ $\gamma$ 被称为欧拉常数。）

11 讨论以下级数的收敛性

$$(a) \frac{2}{1^2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{3^2} + \frac{5}{4^2} + \dots$$

(b) $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^p}{k!}$$ （全部 $p$ )

(c) $$\frac{1}{11} - \frac{2}{13} + \frac{3}{15} - \frac{4}{17} + \dots$$

(d) $$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$$

12 将下列循环小数表示为 p/q 的形式，其中 p 和 q 为整数：

(a) 1.231 231 23p (b) 0.429 429 429p

(c) 0.101 101 101p (d) 0.517 251 72p

13 判断下列级数中哪些是收敛的：

$$(a) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} \qquad (b) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + 2}{n^2}$$

$$(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{2n^5-1}$$

(d) $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^2+n-3}$$

14 一个有理函数 $f(x)$ 对于 $-1 < x < 1$ :

$$f(x) = 1^2x + 2^2x^2 + 3^2x^3 + 4^2x^4 + \dots$$

具有如下幂级数表示 求 f(x) 的闭式表达式。

15 求 a 和 b 的值，使得

$$\tan x = \frac{ax}{1 + bx^2} + cx^5 + O(x^7)$$

并给出 c 的值。（tan x 的级数见习题 7.7.3 第 53(a) 题。）

对于哪些 x 的值，近似式

$$\tan x = \frac{ax}{1 + bx^2}$$

才有效（精确到 4 位小数）？用该近似式计算 tan 0.29 和 tan 0.295，并将你的答案与计算器给出的值进行比较。对你的结果作出评述。

[这里 O(x⁷ ) 表示包含 x 的 7 次及以上幂的项。]

16 函数 $f(x) = \sinh^{-1 x$ 具有如下幂级数展开

$$\sinh^{-1}x = x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7} + \dots$$