通过该点的直线的表现 $P(t_1, s_1)$ 。该直线（在极限情况下）的斜率给出了图像在 $P$ 处的斜率。考虑图像中包含在矩形内的那部分，该矩形平行于 $s$ 轴的边为 $t = t_1 + h$ 和 $t = t_1 - h$ 其中 $h$ 是一个正的（小）数，如图 8.3 所示。如果我们用 $f(t)$ 表示联系距离和时间的函数，那么 $s_1 = f(t_1)$ 并且我们可以近似该函数在点 $f(t)$ 处的斜率 $P$ 由弦 AP 或 BP 中任意一条的斜率给出。因此

$$\text{gradientent} \simeq \frac{f(t_1 + h) - f(t_1)}{h} \simeq \frac{f(t_1 - h) - f(t_1)}{(-h)}$$

随着 $h$ 变得越来越小（对应于越来越大的放大倍数），这些近似变得越来越好，以至于在极限情况下（ $h \rightarrow 0$ ），它们不再是近似值而变为精确值。因此我们可以写成

$$\begin{aligned} (\text{gradient of } f(t) \text{ at } t = t_1) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t_1 + h) - f(t_1)}{h} \ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t_1 - h) - f(t_1)}{(-h)} \end{aligned}$$

这里我们指定了 $h > 0$ ，这意味着前一个极限是表达式

$$\frac{f(t_1 + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$$

的上极限，后一个是其下极限 $\Delta t \rightarrow 0$ 其中 $\Delta t$ 。（这里我们使用了复合符号 $t$ 来表示值的一个微小变化，即。它可以是正的也可以是负的。）因此，只要上极限和下极限具有相同的值，函数的斜率 $f(t)$ 定义于 $t = t_1$ 由

$$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f(t_1 + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$$

8.2.2 导数的定义

我们正式将函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的导数定义为

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

图 8.3
距离–时间图的
局部。