导数有两种记号。一种使用复合符号， $\frac{df}{dx}$ ，另一种使用撇号， $f'(x)$ ，因此

$$\frac{df}{dx} = f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \quad (8.1)$$

对于函数 $y = f(x)$ ，我们写作 $\Delta y = \Delta f$ 和 $y + \Delta y = y(x + \Delta x)$ 和

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \quad (8.2)$$

例 8.1 利用 (8.1) 中给出的导数定义，求 $f'(x)$ 当 $f(x)$ 为

(a) $x^2$      (b) $\frac{1}{x}$      (c) $mx + c$      ( $m, c$ 常数）

解答 (a) 当 $f(x) = x^2$ , $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

$$\text{so that } \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x$$

因此，由 (8.1)， $f(x)$ 的导数为

$$\frac{df}{dx} = f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (2x + \Delta x) = 2x$$

$$\text{so that } \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

(b) 当 $f(x) = \frac{1}{x}$ , $f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x}$

$$\begin{aligned} \text{so that } \frac{\Delta f}{\Delta x} &= \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \left[ \frac{\frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}}{\Delta x} \right] = \left[ \frac{x - x - \Delta x}{\Delta x(x + \Delta x)x} \right] \ &= \left[ \frac{-1}{x^2 + x\Delta x} \right] \end{aligned}$$

因此，由 (8.1)， $f(x)$ 的导数为

$$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ \frac{-1}{x^2 + x\Delta x} \right] = -\frac{1}{x^2}$$

$$\text{so that } \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1x^{-2}$$