（c）由于 $f(x) = mx + c$ , $f(x + \Delta x) = m(x + \Delta x) + c$

$$\text{so that } \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{m\Delta x}{\Delta x} = m$$ 因此，由 (8.1) 可知， $f(x)$ 的导数为

$$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = m$$

所以该函数的梯度 $f(x) = mx + c$ 与直线 $y = mx + c$ 的梯度相同，正如我们所预期的。

8.2.3 解释为切线的斜率

该定义在图 8.4 中以图形方式说明，其中 $\Delta x$ 表示自变量 $x$ 的一个微小增量变化，而 $\Delta f$ 是相应的增量变化。 $f(x)$ . P 和 Q 是图像上坐标为 $(x, f(x))$ , $(x + \Delta x, f(x + \Delta x))$ 的点。线段 PQ 的斜率为

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

在以下极限中，当 $\Delta x$ 趋于零时，点 $Q$ 趋近于 $P$ ，且线段变为曲线在 $P$ 处的切线，其斜率由导数给出

$$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

图 8.4
切线斜率
导数的示意图。

总结

如果 $y = f(x)$ 则……的导数为 $f(x)$ 由以下定义

$$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

• (a) 函数的变化率 $y = f(x)$ 关于 $x$ ，或
• (b) 在点处的切线斜率 $(x, y)$ 在图像上 $y = f(x)$ .