例 8.2 考虑函数 $f(x) = 25x - 5x^2$ 。求

• (a) 用第一性原理求 $f(x)$ 的导数；
• (b) 求 $f(x)$ 在 $x = 1$ ;
• 处的变化率； $f(x)$ (c) 求 $(1, 20)$ ;
• 的图像在点 $f(x)$ 处的切线方程；

解答

解答 (a) $$f(x) = 25x - 5x^2$$

$$f(x + \Delta x) = 25(x + \Delta x) - 5(x + \Delta x)^2 = 25x + 25\Delta x - 5x^2 - 10x\Delta x - 5(\Delta x)^2$$

使得

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{25\Delta x - 10x\Delta x - 5(\Delta x)^2}{\Delta x} = 25 - 10x - 5\Delta x$$

因此， $f(x)$ 的导数是

$$\frac{df}{dx} = f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (25 - 10x - 5\Delta x) = 25 - 10x$$

(b) $f(x)$ 在 $x = 1$ 处的变化率是 $f'(1) = 15$ 。

(c) $f(x)$ 在 $(1, 20)$ 处的切线斜率是 $f'(1) = 15$ . 回顾式 (1.14)，过一点 $(x_1, y_1)$ 且斜率为 $m$ 的直线方程为

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

因此曲线 $y = f(x)$ 在 $(1, 20)$ 处的切线方程为

$$y - 20 = 15(x - 1)$$

或

$$y = 15x + 5$$

(d) 法线的斜率 $n$ 由关系式给出 $mn = -1$ ，其中 $m$ 是切线的斜率。这在图 8.5 中作了说明。因此在本例中，法线在 $(1, 20)$ 处的斜率为 $-1/15$ ，因此法线在 $(1, 20)$ 处的方程为

$$y - 20 = -\frac{1}{15}(x - 1)$$

或

$$y = \frac{1}{15}(301 - x)$$

图 8.5
平面曲线的切线斜率与法线斜率之间的关系。