8.2.4 可微函数

导数的正式定义 $f(x)$ 意味着下极限和上极限相等。在某些情况下，这种情况不会发生。例如，函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sin x}$ 的两个极限分别为

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0^-} \frac{f(3\pi/2 + \Delta x) - f(3\pi/2)}{\Delta x} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0^+} \frac{f(3\pi/2 + \Delta x) - f(3\pi/2)}{\Delta x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

显然，该函数在 $x = 3\pi/2$ 处的导数没有定义（上述两个极限有时分别被称为“左导数”和“右导数”）。

该函数的图像如图 8.6 所示，显然在 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ 处无法为该函数的图像画出唯一的切线。这并不奇怪，因为从导数作为切线斜率的解释来看，函数 $x = 3\pi/2$ 要在 $f(x)$ 处可微，其图像 $x = a$ 在该点必须有一条唯一的、非竖直的、良定义的切线。 $f(x)$ $x = a$ . 否则极限

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

不存在。我们称函数 $f(x)$ 是可微的，如果它在其定义域内的所有点处都可微。出于实际目的，将可微函数解释为其图像光滑连续、没有尖角的函数就足够了。工程师们常称这类函数为“表现良好的”。显然，图像如图 8.7(a) 所示的函数在除 $x = x_1$ 和 $x = x_2$ 之外的所有点处都可微，因为在这些点处无法画出唯一的切线。类似地，图像如图 8.7(b) 所示的函数在除 $x = 0$ 之外的所有点处都可微。

图 8.6
图像为
$y = \sqrt{1 + \sin x}$ .

图 8.7