8.2.5 速率、速度与加速度

考虑 8.2.1 节中物体的运动，使我们能够区分速率和速度这两个术语。在日常用语中，我们说的是速率而不是速度，并且总是认为它是正的或零。正如我们前面所见（见第 4 章），速度是一个矢量，与之相关联有一个方向，而速率是一个标量，即速度的大小或模。当 s 和 v 沿水平方向测量时，物体向右运动时速度为正，向左运动时速度为负。在整个运动过程中，物体的速率将为正或零。同样，加速度 a，即速度随时间的变化率，也是一个矢量，由下式确定

$$a(t) = \frac{dv}{dt}$$

例 8.3 一个粒子被竖直向上抛入空中。其在时刻 t（单位：秒）离地面的高度 s（单位：米）由下式给出

$$s = 25t - 5t^2$$

• (a) 粒子达到的高度是多少？
• (b) 粒子落回撞击地面时的速度是多少？
• (c) 它的加速度是多少？

解 由于速度 v 是距离 s 随时间 t 的变化率，我们有

$$v = \frac{ds}{dt}$$

在这个具体的例子中

$$s(t) = 25t - 5t^2 \tag{8.3}$$

因此，由例 8.2，

$$v(t) = \frac{ds}{dt} = 25 - 10t \quad (8.4)$$

• (a) 当粒子达到其最大高度时，它将瞬间处于静止状态，因此其速度将瞬间为零。由 (8.4) 可知，这将发生在 $t = 25/10 = 2.5$ 时。然后，由 (8.3)，此时刻达到的高度为

$$s(2.5) = 25 \times \frac{5}{2} - 5 \times (\frac{5}{2})^2 = \frac{125}{4}$$

也就是说，粒子达到的最大高度为 31.25 米。

• (b) 首先我们需要求出质点回落到地面的时间。这将发生在高度 $s$ 再次为零时，由 (8.3) 可知即当 $t = 5$ 时。然后，由 (8.4)，质点落地时的速度为

$$v(5) = -25$$