(d) 使得 (c) 中找到的交点中有两个重合的值；

(e) 图像在以下点处的切线方程 $m$ 在 $f(x)$ 和 $x = 1$ 处。

4 用第一性原理证明 $x = \frac{1}{4}$ 的导数是

$$f'(x) = ax^2 + bx + c$$

由此确认 2.3.4 节例 2.21 之前蓝色框中概述的结果，并用微积分方法验证该例的结果。

5 证明若

$$f'(x) = 2ax + b$$

，则 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 由此推出

$$f(x + \Delta x) = ax^3 + bx^2 + cx + d + (3ax^2 + 2bx + c)\Delta x + (3ax + b)(\Delta x)^2 + a(\Delta x)^3$$

6 某车辆的位移–时间图像由下式给出：

$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$

$$s(t) = \begin{cases} t, & 0 \leq t \leq 1 \ t^2 - t + 1, & 1 \leq t \leq 2 \ 3t - 3, & 2 \leq t \leq 3 \ 9 - t, & 3 \leq t \leq 9 \end{cases}$$

求出速度–时间图像的公式。

7 考虑函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sin x}$ 。证明 $f(3\pi/2 \pm h) = \sqrt{2} \sin \frac{1}{2} h$ ( $h > 0$ ) 并由此推出 $f'(x)$ 在 $x = 3\pi/2$ .

处不存在 $y = f(x)$ 8.2.7 利用导数进行数学建模

我们已经看到图像 $t = 2.5$ 的切线斜率可以表示为导数，但导数有着更广泛的应用。任何可以表示为 (8.1) 这种极限形式的量都可以用导数来表示，这样的量出现在许多实际情形中。由于图像切线的斜率可以表示为导数，因此我们总可以在几何上把导数解释为图像切线的斜率。在例 8.3 中我们看到，当 $v = ds/dt = 0$ s 时粒子达到其最大高度 31.25 m。这个最大高度出现在

时。这意味着 距离 对 时间 的图像的切线是水平的。一般地，在函数的最大值或最小值处，其导数为零且切线水平（如第 2.2.1 节所讨论）。这将在后面详细讨论（见第 8.5 节）。 $t = 0$ 例 8.4

假设一个水箱最初装有 80 升纯水。在某一时刻（取为该时刻为 t = 0） $\text{min}^{-1}$ . 通过不断搅拌使罐内液体保持均匀。此外，在时刻 $t = 0$ 液体以每分钟 12 升的速率从罐中流出 $\text{min}^{-1}$ 。证明时刻罐中盐的量 $x(t)$ （单位：kg） $t$ （分钟） $\geq 0$ 由如下数学模型确定

$$\frac{dx(t)}{dt} + \frac{3x(t)}{20 - t} = 2 \quad (t < 20)$$

解答 该情形如图 8.8 所示。由于 $x(t)$ 表示时刻罐中盐的量 $t \geq 0$ ，罐中盐量的增长速率为 $dx/dt$ ，并由下式给出