$$\frac{dx}{dt} = \text{rate of inflow of salt} - \text{rate of outflow of salt} \quad (8.5)$$

盐的流入速率为 (0.25 kg litre⁻¹) (8 litres min⁻¹) = 2 kg min⁻¹

盐的流出速率为 $c \times$ (液体流出速率) = $c \times 12 \text{ litres min}^{-1}$

$$= 12c \quad (\text{in kg min}^{-1})$$

其中 $c(t)$ 是水箱中盐的浓度（单位为 kg litre^-1）。在时间 $t$ 时的浓度由下式给出

$$c(t) = \frac{\text{amount of salt in the tank at time } t}{\text{volume of liquid in the tank at time } t}$$

经过时间 $t$ （单位：分钟） $8t$ 升液体已进入水箱，且 $12t$ 升液体已流出。另外，在 $t = 0$ 时水箱中有 80 升液体。因此，在时刻 $V$ 时水箱中液体的体积 $t$ 由下式给出

$$V(t) = 80 - (12t - 8t) = (80 - 4t)$$

（注意， $V(t) \geq 0$ 仅当 $t \leq 20$ 分钟时成立；在此之后，液体流出的速度与流入的速度相同，不会有液体在水箱中积聚。）因此浓度 $c(t)$ 由下式给出

$$c(t) = \frac{x(t)}{V(t)} = \frac{x(t)}{80 - 4t}$$

以便

$$\text{rate of outflow of salt} = 12 \times \frac{x(t)}{80 - 4t} = \frac{3x(t)}{20 - t}$$

代回 (8.5) 式，得到增长率为

$$\frac{dx}{dt} = 2 - \frac{3x}{20 - t}$$

或

$$\frac{dx(t)}{dt} + \frac{3x(t)}{20 - t} = 2$$

这个包含导数的方程 $x(t)$ 称为微分方程，在复习题 10.13 的第 9 题中，我们将展示如何求解它，从而得到时刻 $x(t)$ 时槽中盐的数量 $t$ 。

例 8.5 在悬索桥中，长度为 $2l$ 的桥面通过竖直吊杆悬挂在缆索上，缆索由位于跨径两端的桥塔支撑，如图 8.9(a) 所示。缆索的最低点位于支撑塔顶下方距离 $h$ 处。求表示缆索线形的方程。

解 要解决这个问题，我们需要做一些简化假设。我们假设桥面相对于缆索质量很大，因此桥面的重量 $W$ 是决定缆索形状的主导因素。其次，我们假设

流入量：8 升/分钟⁻¹

流出流量：12 升/分钟^-1

图 8.8
例 8.4 的
水箱。