是 (8.6) 的右端。在这种情况下，我们可以利用例 8.1 的结果，因为我们知道

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x \quad (\text{which implies } \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2) = x)$$

以及

$$\frac{d}{dx} (mx + c) = m$$

将这些结果应用于 (8.6)，我们看到

$$y = \frac{1}{2} \left( \frac{\tan \alpha}{l} \right) x^2 - x \tan \alpha + c \quad (8.7)$$

其中 $c$ 是一个常数。我们可以求出 $c$ 的值，因为我们知道 $y = h$ 在 $x = 0$ 处。将 $x = 0$ 代入 (8.7)，我们看到 $c = h$ ，于是解变为

$$y = \frac{1}{2} \left( \frac{\tan \alpha}{l} \right) x^2 - x \tan \alpha + h \quad (8.8)$$

但我们还知道 $y = 0$ 其中 $x = l$ 。这使我们能够求出 $\tan \alpha$ 的值。将 $x = l$ 代入 (8.8)，我们得到

$$0 = \frac{1}{2} l \tan \alpha - l \tan \alpha + h$$

这意味着 $\tan \alpha = 2h/l$ 。因此，支撑缆索的形状由下式给出

$$\begin{aligned} y &= \frac{hx^2}{l^2} - \frac{2hx}{l} + h \ &= h(x - l)^2/l^2 \end{aligned}$$

这表明吊杆与缆索的连接点位于一条抛物线上。

例 8.6 一台射电望远镜的形状为旋转抛物面（见图 1.22(b)）。证明：所有沿平行于其对称轴方向到达的无线电波经反射后都会通过对称轴上的同一点。

解 图 8.10 中的图示为旋转抛物面沿其对称轴的一个截面。我们这样选取坐标系，使得图中抛物线的方程为 $y = x^2$ 。设 AP 表示一条沿平行于 $y$ 轴方向传播的无线电信号的路径。在 P 点，它被反射后通过位于 $y$ 轴。反射定律指出 $\angle APN = \angle BPN$ ，其中 PN 是曲线在 P 点处的法线。现在已知点 P 的坐标 $(a, a^2)$ ，我们需要求出点 B 的坐标 $(0, b)$ 。从图中可以看出，如果 $\angle PTQ = \theta$ ，那么 $\angle PQT = \pi/2 - \theta$ ，这意味着 $\angle ONP = \theta$ 。由于 AP 平行于 NB，我们可以看到 $\angle APN = \theta$ 因此 $\angle BPN = \theta$ 。这意味着 $\angle PBN = \pi - 2\theta$ 。在所有这些角度都已知的情况下，我们可以计算 B 点的坐标。从图中