$$\tan \angle \text{NBP} = \frac{a}{a^2 - b^2}$$

由于 $\angle$ NBP = $\pi - 2\theta$ ，这意味着 $\tan 2\theta = \frac{a}{b - a^2}$ 。另外

$$\tan \theta = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=a} = 2a$$

且由于 $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ ，恒等式 (2.27e)，我们得到

$$\frac{4a}{1 - 4a^2} = \frac{a}{b - a^2}$$

这给出 $b = \frac{1}{4}$ 。注意到 $b$ 的值与 $a$ 无关。因此所有反射光线都通过 $(0, \frac{1}{4})$ . 正如第 1.4.5 节所指出的，这一性质在许多工程设计项目中都很重要。

例 8.7 证明梁中的剪力 $F$ 与弯矩 $M$ 之间的关系为

$$F = \frac{dM}{dx}$$

解答 这在前面已简要讨论过（见第 1.22(b) 节）。现在我们更深入地探讨这些概念。梁是一种承受载荷的水平结构构件。在将载荷传递到支座的过程中，这些载荷会在梁内部产生力和应力。为了设计安全，需要用到两个内部量：剪力 $F$ 和弯矩 $M$ 。沿梁的每一点，各力都处于平衡状态。这些力可以看作沿梁方向作用以及（竖直地）垂直于梁方向作用。当梁弯曲时，其上表面被压缩，下表面被拉伸，因此沿梁任意一点处上下表面上的力作用方向相反。当然，梁内会有一条既不被拉伸也不被压缩的线。这就是中性轴。该情形如图 8.11(a) 所示。为了分析这一情形

图 8.10
抛物面通过对称轴的截面。