我们设想在梁上沿其长度方向的某一点 P 处将梁切开，并考察在该处保持平衡所需的力。如图 8.11(b) 所示，P 处相反的水平力对中性轴产生一个力矩 M。这称为弯矩。由于梁处于平衡状态，在我们假想切口的另一侧也存在大小相等、方向相反的弯矩。同样，竖直方向的力 F 在切口处平衡。这个竖直力称为剪力。在考虑设计安全性时，剪力和弯矩非常重要。

我们通过考虑梁左端部分力的竖直平衡，来求距梁左端距离为 x 的某一点处的剪力 F；并通过考察该左端部分的力矩平衡来求弯矩 M（见图 8.12(a)）。力 F 是作用在 AP 上竖直方向各力的总和，而 M 是各力矩的总和。

考虑长度为 $\Delta x$ 的、位于 P 和 Q 之间的梁微元，如图 8.12(b) 所示。考察关于 Q 点的力矩平衡，我们得到

$$M(x + \Delta x) = M(x) + \Delta x F(x)$$

因此

$$M(x + \Delta x) - M(x) = \Delta x F(x)$$

从而得到

$$F(x) = \frac{M(x + \Delta x) - M(x)}{\Delta x}$$

现在令 $\Delta x \rightarrow 0$ ，我们得到

$$F(x) = \frac{dM}{dx}$$

这正是所要求的。

图 8.11 (a) 梁的弯曲（已夸大）；(b) 在 P 处假想切开的梁。

图 8.12

• (a) 水平梁。
• (b) 梁的微元。