图 8.13
(a) 开口盒。
(b) 商业上使用的开口盒展开图。

我们在 7.9.2 节中看到，对于带有点载荷的自由铰接梁 $W$ 在 $x = a$

$$F(x) = \begin{cases} W - Wa/l & 0 < x < a \ -Wa/l & a \leq x < l \end{cases}$$

$$M(x) = \begin{cases} W(l - a)x/l & 0 < x \leq a \ W(l - x)a/l & a \leq x < l \end{cases}$$

留给读者验证这些满足联系 $M(x)$ 和 $F(x)$ 的方程。

例 8.8 一个开口盒，如图 8.13(a) 所示，由一张 A4 卡片按图 8.13(b) 所示的折痕制成。求使托盘容量最大的尺寸。

解答 这样的盒子在商业上用于食品销售。包装成本很高，因此制造商常常试图设计一种容器，使其在标准尺寸的纸板上具有最大容量。一张 A4 纸的尺寸为 $210 \times 297$ mm。

留出 10 mm 作为加强筋（图中阴影部分），并用 l、b 和 h（单位为 mm）分别表示长、宽和高，我们有

$$l + 4h + 20 = 297$$

$$b + 4h + 20 = 210$$

而容量 $C$ 为 $l \times b \times h \text{ mm}^3$ 。于是

$$C(C(h) = (277 - 4h)(190 - 4h)h = 52630h - 1868h^2 + 16h^3)$$