可以从基本原理出发证明（见习题 8.2.6 的第 5 题），一般的三次函数

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

的导数为

$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$

在本例中 $a = 16$ , $b = -1868$ , $c = 52630$ , $d = 0$ 且 $x = h$ 。因此

$$C'(h) = 52630 - 3736h + 48h^2$$

从而使得容量达到最大值的 $h^$ 为 $h$ 其中给出最大容量的 $h^ = 18.47$ 为 $C'(h^*) = 0$ 其中，我们可以通过证明以下内容来验证它是最大值：

$$C'(18.4) > 0$$ 和 $C'(18.5) < 0$

8.2.8 习题

8 气体从球形气球中逸出，速率为 $2\text{ m}^3\text{ min}^{-1}$ 。问当半径等于 $12\text{ m}$ 时，表面积缩小的速率是多少？（半径为 $r$ 的球的表面积为 $4\pi r^2$ 。）

9 一个水箱最初装有 1000 升盐水，每升含盐 0.15 kg。每升含盐 0.25 kg 的新盐水以 4 升 $\text{s}^{-1}$ 的速率流入水箱，混合液（通过剧烈搅拌保持均匀）以相同速率流出。证明：若 $Q$ （单位为 kg）为时刻 $t$ （单位为 s）水箱中的盐量，则

$$\frac{dQ}{dt} = 1 - \frac{Q}{250}$$

10 弯矩 $M(x)$ 长度为 $l$ 的梁由下式给出 $M(x) = W(2x - l)^3/8l^2$ , $0 \leq x \leq l$ 。求剪力 $F$ 的公式。（参见例 8.7。）

11 一个小重物由长度为 $a$ 的绳子 PQ 在水平面上拖动，端点 P 系在重物上，而端点 Q 沿一条垂直于 PQ 原始位置的固定直线匀速移动。选取坐标轴使 Oy 为该固定直线，Ox 通过 P 的初始位置，如图 8.14 所示，证明 P 所描出的曲线 $y = y(x)$ 满足

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{(a^2 - x^2)}}{x}$$

所得曲线称为 tractrix（曳物线）。这将在练习 8.8.14 的第 125 题中进一步研究。

图 8.14

图 8.15

12 缠绕在绞盘上的绳子的极限张力（即绳子即将滑动时的张力）取决于缠绕角 $\theta$ ，如图 8.15 所示。证明增加 $\Delta\theta$ 在包角中产生相应的增加 $\Delta T$ 在极限张力值中使得

$$\Delta T \approx \mu T \Delta \theta$$

其中 $\mu$ 是摩擦系数。推导 $dT/d\theta$ .