13 某化学物质在水中溶解的速率与未溶解的量以及溶液中的浓度与饱和溶液中浓度之差成正比。初始时水中没有溶解任何该化学物质。证明未溶解的量 $x(t)$ 满足微分方程

$$\frac{dx}{dt} = kx(M - x_0 + x)$$

其中 $k$ 是一个常数， $M$ 是饱和溶液中该化学物质的量，而 $x_0 = x(0)$ 。

14 溶质通过膜扩散的速率与膜的面积以及膜两侧的浓度差成正比。浓度为 $C$ 的溶液以恒定速度 $v$ 沿管道流下。溶质通过管壁扩散到周围含有同一溶质但浓度较低的固定浓度 $C_0$ 的溶液中。若管道具有半径恒定的圆形横截面 $r$ ，证明在距离 $x$ 沿管道方向的浓度 $C(x)$ 满足微分方程

$$\frac{dC}{dx} = -\frac{2k}{rv}(C - C_0)$$

其中 $k$ 是一个常数。

15 一间容积为 $1000\text{ m}^3$ 的阶梯教室设计为可容纳 200 人。空气通过以恒定速率 $V$ （单位为 $\text{m}^3\text{min}^{-1}$ ）流入的新鲜空气进行持续调节。平均每人每分钟产生 $980\text{ cm}^3$ 的 $\text{CO}_2$ ，而新鲜空气按体积计含有 0.04% 的 $\text{CO}_2$ 。证明百分比浓度 $x$ 的 $\text{CO}_2$ （按体积计）在观众进入礼堂后时间 $t$ （单位：分钟）满足微分方程

$$1000 \frac{dx}{dt} = 19.6 + 0.04V - V_x(t)$$

若初始时 $x(0) = 0.04$ ，证明 $x(t)$ 是 $t$ 的增函数，当 $t > 0$ 。并推导出最大值 $x^*$ 的 $x(t)$ 由下式给出

$$x^* = (19.6 + 0.04V)/V$$

如果规范要求 $x$ 不超过 0.06（即比新鲜空气增加 50%），推导出必须这样选取 $V$ 使得 $V > 980$ 。请评述这一结果。

16 考虑化学反应

A + B S X

设 $x$ 为产物 $X$ 的量， $a$ 和 $b$ 为 A 和 B 的初始量（其中 $x$ , $a$ 和 $b$ 的单位为 mol）。反应速率与剩余的未结合的 A 和 B 的量的乘积成正比。

请用以下变量表示这一关系： $\frac{dx}{dt}$ , $x$ , $a$ 和 $b$ 。

17 一根长度为 $l$ 米的金属丝被弯折，使其围成一个半径为 $r$ 米、圆心角为 $\theta$ 弧度的扇形的边界。证明

$$\theta = \frac{l - 2r}{r}$$

，并证明当半径为 $l/4$ 时扇形面积最大。

18 一位制造商发现某商品的销量取决于售价。市场调研部门发现最多可售出 20 000 件商品，且价格每上涨 1 便士，实际销量就减少 100 件。生产这些商品的总成本包括 200 英镑的启动成本加上每件 50 便士的制造成本。证明利润（以售价 $y$ 便士为自变量的函数）为 $x$ 。应采用什么价格以使利润最大化，此时生产多少件商品？

$$y = 25\ 000x - 100x^2 - 1\ 020\ 000$$

8.3 求导技巧

在本节中，我们将从“第一性原理”出发求出一些基本函数的导数——即使用 (8.1) 中给出的导数定义——并将展示如何利用基本结果和一些初等法则求出其他函数的导数。这些法则本身可以由基本定义推导得出。