法则 7 (参数求导法则)

若 $y = f(x)$ 其中 $x = g(t)$ 且 $y = h(t)$ 且 $t$ 是参数，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}$$

法则的验证

法则 1 直接由 (8.1) 中给出的定义得出，因为若

$$g(x) = kf(x)$$ , $k$ 常数

$$g(x + \Delta x) = kf(x + \Delta x)$$

且

$$\Delta g = g(x + \Delta x) - g(x) = k[f(x + \Delta x) - f(x)]$$

于是

$$\frac{dg}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} k \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] = kf'(x)$$

利用 7.5.2 节中给出的极限性质。

同样，对于法则 2，若

$$h(x) = f(x) + g(x)$$

$$h(x + \Delta x) = f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x)$$

且

$$\Delta h = h(x + \Delta x) - h(x) = [f(x + \Delta x) - f(x)] + [g(x + \Delta x) - g(x)]$$

使得

$$\frac{dh}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta h}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right],$$

利用 7.5.2 节中给出的极限性质。

因此

$$\frac{dh}{dx} = f'(x) + g'(x)$$

还可以容易地得出：如果

$$y = f(x) - g(x)$$

那么

$$\frac{dy}{dx} = f'(x) - g'(x)$$