为了验证 法则 3 考虑图 8.16。对于任意值 $x$ ，面积 $y$ 矩形 ABCD 的面积为

$$y = u(x)v(x)$$

增加 $x$ 增量 $\Delta x$ 改变 $u$ 和 $v$ 变化的量分别为 $\Delta u$ 和 $\Delta v$ 分别，得到

$$u(x + \Delta x) = u(x) + \Delta u$$ 和 $v(x + \Delta x) = v(x) + \Delta v$

从图中我们可以看到，相应的增量为 $y$ 由下式给出

$$\begin{aligned} \Delta y &= \text{area EFCB} + \text{area CHJD} + \text{area CFGH} \ &= u \Delta v + v \Delta u + \Delta u \Delta v \end{aligned}$$

因此

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ u \frac{\Delta v}{\Delta x} + v \frac{\Delta u}{\Delta x} + \frac{\Delta u \Delta v}{\Delta x} \right]$$

从而得到结果

$$\frac{dy}{dx} = u(x)v'(x) + u'(x)v(x)$$

因为 $\Delta u$ 和 $\Delta v \rightarrow 0$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 。

规则 4 可由规则 3 推出，因为若

$$y = \frac{u}{v}$$

其中 $u = f(x)$ 且 $v = g(x)$ ，则 $u = yv$ 且规则 3 给出

$$\begin{aligned}\frac{du}{dx} &= y \frac{dv}{dx} + v \frac{dy}{dx} \ &= \frac{u}{v} \frac{dv}{dx} + v \frac{dy}{dx} \text{ on substituting for } y\end{aligned}$$

整理后即得所需结果

$$\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$$

规则 5 将在 8.3.6 节中验证，规则 6 在 8.3.7 节中验证，规则 7 在 8.3.14 节中验证。

8.3.2 xr 的导数

利用 (8.1) 中给出的导数定义，并按照例 8.1 的步骤，我们可以求出幂函数的导数 $f(x) = x^r$ 当 $r$ 为实数时。

由于 $f(x) = x^r$ 我们有

$$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^r$$

图 8.16