利用二项级数 (7.16)，我们有

$$\begin{aligned} (x + \Delta x)^r &= x^r \left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^r, \quad x \neq 0 \ &= x^r \left[ 1 + r \frac{\Delta x}{x} + \frac{1}{2} r(r-1) \left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2 + \dots \right] \ &= x^r + rx^{r-1}\Delta x + \frac{1}{2} r(r-1)x^{r-2}(\Delta x)^2 + \dots \end{aligned}$$

因此

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = rx^{r-1} + \frac{1}{2} r(r-1)x^{r-2}(\Delta x) + \dots$$

现在令 $\Delta x \rightarrow 0$ 我们得到

$$\frac{df}{dx} = \frac{d(x^r)}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = rx^{r-1}$$

从而得到一般结果

$$\frac{d}{dx}(x^r) = rx^{r-1}, \quad r \in \mathbb{R} \quad (8.9)$$

注意，例 8.1 的解满足这个一般结果。

还要注意，(8.9) 意味着如果 $k$ 是常数，则 $\frac{dk}{dx} = 0$ ，这与预期一致，因为导数度量函数的变化率。

用以下 MATLAB 命令验证结果 (8.9)：

syms h r x df = limit(((x + h)^r – x^r)/h,h,0); pretty(df)

例 8.9 利用结果 (8.9)，求 $f'(x)$ 当 $f(x)$ 是

利用结果 (8.9)，求 $$f'(x)$$ 当 $f(x) = \frac{1}{x^5}$ 。

解 (a) 在 (8.9) 中取 $r = \frac{1}{2}$ 得

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$