（b）取 $r = -5$ 代入 (8.9) 得

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^5}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-5}) = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$$

（c）取 $r = -\frac{1}{3}$ 代入 (8.9) 得

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1/3}) = -\frac{1}{3}x^{-4/3} = -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}\right)$$

例 8.10 利用结果 (8.9) 和 8.3.1 节的规则，求 $f'(x)$ 其中 $f(x)$ 是 (a) $8x^4 - 4x^2$ (b) $(2x^2 + 5)(x^2 + 3x + 1)$ (c) $4x^7(x^2 - 3x)$ (d) $(x + 1)\sqrt{x}$ (e)(a) $$8x^4 - 4x^2$$

(a) $$8x^4 - 4x^2$$      (b) $(2x^2 + 5)(x^2 + 3x + 1)$      (c) $4x^7(x^2 - 3x)$

(d) $$(x +$$

(e) $$\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$ (f)

$$(f) \quad \frac{x^3 + 2x + 1}{x^2 + 1}$$

解 (a) 利用规则 1 和结果 (8.9)，取 $r = 4$ ，我们有

$$\frac{d}{dx} (8x^4) = 32x^3$$

类似地

$$\frac{d}{dx}(4x^2) 2) = 8x$$

使用法则 2，我们得到

$$\frac{d}{dx} (8x^4 - 4x^2) = 32x^3 - 8x$$

(b) 使用结果 (8.9) 结合法则 1 和 2，我们得到

$$\frac{d}{dx}(2x^2 + 5) = 4x \quad \text{and} \quad \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 1) = 2x + 3$$

取 $u = 2x^2 + 5$ 和 $v = x^2 + 3x + 1$ 代入法则 3，我们得到

$$\frac{d}{dx} [(2x^2 + 5)(x^2 + 3x + 1)] = 4x(x^2 + 3x + 1) + (2x^2 + 5)(2x + 3)$$

将各项展开相乘，我们得到

$$f'(x) ) = 8x^3 + 18x^2 + 14x + 15$$

(c) 使用法则 3，取 $u(x) = 4x^7$ 和 $v(x) = (x^2 - 3x)$ 我们得到

$$\begin{aligned} f'(x) &= (28x^6)(x^2 - 3x) + (4x^7)(2x - 3) \ &= 36x^8 - 96x^7 \ &= 12x^7(3x - 8) \end{aligned}$$