使用 simplify 命令，我们得到该命令

$$dy = \text{simplify}(dy)$$

返回导数为

$$dy = 8x^3 + 18x^2 + 14x + 15$$

在实际中，我们常常预见到需要化简，因此使用单一命令 simplify(diff(y))。考虑例 8.10(e)，MATLAB 命令

syms x y y = sqrt(x)/(x + 1); dy = simple(diff(y));

返回导数为

$$dy = -1/2 \frac{x - 1}{x^{1/2}(x + 1)^2}$$

作为练习，请使用 MATLAB 验证例 8.10 中 (a)、(c)、(d) 和 (f) 部分的答案。

8.3.3 多项式函数的求导

利用式 (8.9) 中给出的结果

$$\frac{d}{dx}(x^r) = rx^{r-1}$$

并结合 8.3.1 节中建立的法则，我们在本节及后续各节中求一系列代数函数的导数。求多项式函数的导数很简单，设该函数为

$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n = \sum_{r=0}^n a_r x^r \quad (8.10)$$

其中 $n$ 是非负整数，且系数 $a_r$ , $r = 0, 1, \dots, n$ 为实数。

利用常数乘法法则和求和法则，我们可以逐项求导，得到

$$f'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1} = \sum_{r=1}^n ra_rx^{r-1}$$