图 8.20
反函数的 导数。

法则 6（反函数法则）

若 $y = f^{-1}(x)$ 则 $x = f(y)$ 且

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{f'(y)}$$

法则 6 可以很容易地从图形角度推导出来。由于 $y = f^{-1}(x)$ 的图像是 $y = f(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 的镜像（见图 8.20），因此由于 $\tan \theta = \cot(\frac{1}{2} \pi - \theta)$ ，关于 $x$ 方向的梯度为

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\text{gradient with respect to the } y \text{ direction}} = \frac{1}{dx/dy}$$

我们将在接下来的小节中使用这条法则，但一个简单的例子是考虑由下式定义的函数 $y = x^{1/3}$ 。那么 $x = y^3$ 且 $\frac{dx}{dy} = 3y^2$ 。利用反函数法则我们得到

$$\frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3y^2}, \quad y \neq 0$$

由于 $y = x^{1/3}$ 我们推出 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ , $x \neq 0$ （与一般结果一致 $\frac{d}{dx}(x^r) = rx^{r-1}$ )