8.3.9 圆函数的求导

取 $f(x) = \sin x$ 并利用和角恒等式 (2.26b)，由形式定义 (8.1) 得

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \frac{1}{2}\Delta x) \sin(\frac{1}{2}\Delta x)}{\frac{1}{2}\Delta x}$$

由于根据第 7.8.1 节，记住 $x$ 此处以弧度为单位度量，

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{1}{2}\Delta x)}{\frac{1}{2}\Delta x} = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \cos(x + \frac{1}{2}\Delta x) = \cos x$$

我们有

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \tag{8.13}$$

同样地，利用和角恒等式 (2.25d)，我们有

$$\frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = \frac{-\sin(x + \frac{1}{2}\Delta x) \sin(\frac{1}{2}\Delta x)}{\frac{1}{2}\Delta x}$$

由此我们利用 (8.1) 推出

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \tag{8.14}$$

作为练习，请用 MATLAB 验证结果 (8.13) 和 (8.14)。

由于 $\tan x = \sin x / \cos x$ ，我们取 $u = \sin x$ 以及 $v = \cos x$ , 给出

$$\frac{du}{dx} = \cos x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = -\sin x$$

然后，根据商法则，

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(\tan x) &= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}$$

也就是说，

$$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \tag{8.15}$$

由于 $\sec x = 1/\cos x$ ，我们取 $u = 1$ 和 $v = \cos x$ 代入商法则，得到

$$\frac{d}{dx}(\sec x) = \frac{(\cos x)(0) - (1)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x \cos x}$$