小结

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

$$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x, \quad \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$$

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\cos x \cot x, \quad \frac{d}{dx}(\cot x) = -\cos^2 x$$

$$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}, \quad |x| < 1$$

$$\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}, \quad |x| | < 1$$

$$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$$

例 8.17 求 ^d

求 $\frac{dy}{dx}$ 当 $y$ 由下式给出时

(a) $$\sin(2x + 3)$$      (b) $x^2$

(b) $$x^2 \cos x$$

$$c \cos x$$ (c) $\frac{\sin 2x}{x^2 + 2}$

(d) $$\sec 6x$$

(d) $$\sec 6x$$                      (e) $x \tan 2x$                      (f) $\sin^{-1} t$

c) $$)$$ $\sin^{-1}6x$

(g) $$x^2 \cos^{-1} x$$

(h) $$\tan^{-1} \frac{2x}{1+x^2}$$

解

解 (a) 引入中间变量 $z = 2x + 3$ ，我们有 $y = \sin z$ 和 $z = 2x + 3$ ，因此由链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = \cos(2x + 3)2 = 2 \cos(2x + 3)$$

注意，这个结果也可以用例 8.15 之后给出的复合函数法则的特定线性情形来写出。

(b) 取 $u = x^2$ 和 $v = \cos x$ 给出

$$\frac{du}{dx} = 2x \quad \text{and} \quad \frac{du}{dx} = -\sin x$$

因此根据乘积法则

$$\frac{dy}{dx} = -x^2 \sin x + 2x \cos x$$