取 $u = \sin 2x$ 和 $v = x^2 + 2$ 得

因此由商法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 + 2) \cos 2x - 2x \sin 2x}{(x^2 + 2)^2}$$

引入中间变量 $z = 6x$ 我们有

$$y = \sec z \text{ and } z = 6x$$

因此由链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = 6 \sec 6x \tan 6x$$

取 $u = x$ 和 $v = \tan 2x$ 得

$$\frac{du}{dx} = 1 \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = 2 \sec^2 2x$$

其中链式法则，使用中间变量 $z = 2x$ , 已被用于求 $\frac{dv}{dx}$ 。然后根据乘积法则

$$\frac{dy}{dx} = 2x \sec^2 2x + \tan 2x$$

(f) 引入中间变量 $z = 6x$ 我们有 $y = \sin^{-1} z$ 以及 $z = 6x$

$$\frac{dy}{dz} = \frac{1}{\sqrt{(1-z^2)}} \quad \text{and} \quad \frac{dz}{dx} = 6, \quad |z| < 1$$

因此根据链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = \frac{6}{\sqrt{(1-36x^2)}}, \quad |x| < \frac{1}{6}$$

(g) 取 $u = x^2$ 和 $v = \cos^{-1} x$ 得到

$$\frac{du}{dx} = 2x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$$

因此根据乘积法则

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)}} + 2x \cos^{-1} x$$

(h) 引入中间变量 $z = \frac{2x}{1+x^2}$ 我们有

$$y = \tan^{-1} z \quad \text{and} \quad z = \frac{2x}{1+x^2}$$

$$\frac{dy}{dz} = \frac{1}{1+z^2} \quad \text{and} \quad \frac{dz}{dx} = \frac{(1+x^2)2 - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$$