所以根据链式法则

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{1 + \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2} \cdot \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2 + (2x)^2} \ &= \frac{2(1 - x^2)}{x^4 + 6x^2 + 1} \end{aligned}$$

8.3.10 链式法则的扩展形式

有时复合函数中会涉及两个以上的分量函数。例如，考虑复合函数

$$y = f(w), \quad w = g(z), \quad z = h(x)$$

其可以用图 8.23 的框图来示意表示。为了求导数 d d y x，我们首先将 y 视为 h 和“虚线框”的复合函数，应用链式法则得到

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx}$$

再次应用链式法则，这次以 z 作为自变量，得到

$$\frac{dy}{dz} = \frac{dy}{dw} \frac{dw}{dz}$$

回代后得到

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dw} \frac{dw}{dz} \frac{dz}{dx}$$

作为链式法则的扩展形式。

例 8.18 求

d d y x，其中 y 由下式给出

求 $$\frac{dy}{dx}$$ 当 $y$ 由下式给出时 (a) $\sin^2(x^2 + 1)$      (b) $\cos^{-1}\sqrt{(1 - x^2)}$

图 8.23 包含三个分量函数的复合函数。