解答 f(x) 的图像如图 8.25 所示。计算 dy/dx 有多种方法。最简单的方法是利用结果 (8.26)。在本例中

$$\frac{dy}{dt} = 2t \quad \text{and} \quad \frac{dx}{dt} = 3t^2$$

因此

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \Big/ \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3t} \quad (t \neq 0)$$

这给出了用 t 表示的结果。用 x 表示时，可以写成

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-1/3} \quad (x \neq 0)$$

用 x 和 y 表示，我们有

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{3x} \quad (x \neq 0)$$

从图 8.25 可以注意到，该图像在 $x = 0$ 处没有明确定义的切线，因此导数在该点不存在；也就是说，该函数在 $x = 0$ 处不可微。

我们也可以直接得到这些结果。消去 x 和 y 的定义方程中的 t，我们得到

$$y = x^{2/3}$$

对 x 求导得

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$$

链式法则也可用于对以隐式形式表示的函数求导（见 2.8.2 节）。例如，例 8.21 中的函数可以通过消去 t 隐式表示为

$$y^3 = x^2$$

为了求得导数 dy/dx，我们使用称为隐函数求导的方法。在这种方法中，我们将 y 视为 x 的未知函数，并对方程两边逐项关于 x 求导。这样得到

$$\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(x^2)$$

图 8.25

图像为 ${(x, y) : y = t^2, x = t^3, -\infty < t < \infty}$ .