现在 $y^3$ 是 $x$ 的复合函数，其中 $y$ 为中间变量，因此由链式法则可得

$$\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dy}(y^3) \frac{dy}{dx} = 3y^2 \frac{dy}{dx}$$

然后，代回原式，我们得到

$$3y^2 \frac{dy}{dx} = 2x$$

得到

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y^2} = \frac{2y}{3x} \quad (\text{on substituting for } y^3)$$

参数求导可使用 MATLAB 命令实现

syms x y t
x = x(t); y = y(t); dx = diff(x, t); dy = diff(y, t);
dydx = dy/dx

例 8.22

求当 $\frac{dy}{dx}$ 时的 $x^2 + y^2 + xy = 1$ 。

解 对两边逐项求导，得

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(1)$$

认识到 $y$ 是 $x$ 的函数，并注意乘积项 $xy$ ，链式法则给出

$$2x + \frac{d}{dy}(y^2) \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$$

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$$

从而得到

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + y)}{(x + 2y)}$$

隐函数求导在计算由隐式方程确定的曲线的切线和法线斜率时非常有用，例如例 8.22。求得点处的切线斜率 $(x, y)$ 为 $\frac{dy}{dx}$ 后，曲线在相应点处的法线斜率为 $-1/(\text{slope of tangent})$ ，如图 8.5 所示。