例 8.23 求由方程给出的曲线的切线和法线方程 $x^2 + y^2 - 3xy + 4 = 0$ 在点 $(2, 4)$ 处。

解 对方程关于 $x$

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 3x \frac{dy}{dx} - 3y = 0$$

隐式求导，得

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3y - 2x}{2y - 3x}$$

这表示曲线上点 $(x, y)$ 处切线的斜率。因此点 $(2, 4)$ 处切线的斜率为

$$\left[ \frac{dy}{dx} \right]_{(2,4)} = \frac{12 - 4}{8 - 6} = 4$$

由方程 (1.14) 可知，过点 $(x, y)$ 且斜率为 $m$ 的直线方程为 $y - y_1 = m(x - x_1)$ , 我们可得该图像在 $(2, 4)$ 处的切线方程为

$$(y - 4) = 4(x - 2)$$ 或 $y = 4x - 4$

在点 (2, 4) 处的法线斜率为 $-\frac{1}{4}$ ，因此其方程为

$$y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2) \quad \text{or} \quad 4y = 18 - x$$

例 8.24 求圆

$$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$$

在点 A(1, 3)、B(4, 2) 和 C(-2, -6) 处的切线斜率。

解

解 该方程所定义的圆如图 8.26 所示，图中同时标出了三个点 A、B 和 C。显然，这个方程一般并不定义一个函数，但在特定点附近，我们可以对其进行限制，使其在局部表现得像一个函数。为了计算切线的斜率，我们对定义该曲线的方程关于

图 8.26
该圆的 图像 $x^2 + y^2 -$
$2x + 4y - 20 = 0$ .