隐式地关于 x，然后我们代入各点的 x 和 y 坐标。因此在本例中我们有

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$$

得到

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{2+y} \quad (y \neq -2)$$

于是在 A 处斜率为零，在 B 处斜率为 $-\frac{3}{4}$ ，在 C 处斜率为 $-\frac{3}{4}$ 。注意 $dy/dx$ 在 $y = -2$ 处没有定义。有两个对应的点： $(-4, -2)$ 和 $(6, -2)$ 。在这些点处曲线具有竖直切线。

隐函数求导法则可以双向使用，以求形如 f(x) g(x) 的函数的导数，如例 8.25 所示。

例 8.25 求函数的导数

$$f(x) = (\sin x)^x \quad (x \in (0, \pi))$$

解 处理此问题的最简单方法是先取对数。于是 $y = (\sin x)^x$ 给出

$$\ln y = x \ln \sin x$$

然后对 x 进行隐式求导，记住 y 是 x 的函数，得到

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln \sin x + x \frac{\cos x}{\sin x} = \ln \sin x + x \cot x$$

因此

$$\frac{dy}{dx} = (\ln \sin x + x \cot x)(\sin x)^x$$

有时例 8.25 中使用的方法被称为对数求导法。它对于复杂函数的求导非常有用。

例 8.26 对 x 求导

$$y = \frac{(x - 2)^3(x + 3)^9}{\sqrt{(x^2 + 1)}}$$

$$\ln y = 3 \ln(x - 2) + 9 \ln(x + 3) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$$