然后对 $x$ 求导，得

$$\begin{aligned} \frac{1 \text{ dy}}{y \text{ dx}} &= \frac{3}{x-2} + \frac{9}{x+3} - \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2+1} \ &= \frac{3(x+3)(x^2+1) + 9(x-2)(x^2+1) - x(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)(x^2+1)} \ &= \frac{11x^3 - 10x^2 + 18x - 9}{(x-2)(x+3)(x^2+1)} \end{aligned}$$

因此

$$\frac{dy}{dx} = (11x^3 - 10x^2 + 18x - 9)(x - 2)^2(x + 3)^8/(x^2 + 1)^{32}$$

8.3.15 习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

47 方程 $x = t \sin t$ , $y = t \cos t$ 是一条螺线的参数方程。用 $\frac{dy}{dx}$ 表示 $t$ 。

48 一条曲线由以下参数方程定义

$$x = 2 \cos \theta + \cos 2\theta$$

$$y = 2 \sin \theta - \sin 2\theta$$

画出该曲线在 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 时的草图。求曲线在 $\theta = \pi/4$ 。

49 求 $\frac{dy}{dx}$ 当

• (a) $x^2 + y^2 + 4x - 2y = 20$
• (b) $xy = 2e^{x+y-3}$

50 求方程为

$$y^2 - 2y - 4x + 1 = 0$$

的曲线在点 (1, 3) 处的切线和法线的方程。

51 求由 $(0, 4)$ 定义的曲线在点

$$y^3x + y + 7x^4 = 4$$

处的切线方程。52 求 $\frac{dy}{dx}$ 在由方程 $(1, -1)$ 给出的曲线上点

$$x^3 - y^3 - xy - x = 0$$

处的值。53 对 $x$ :

$$(a) \quad 10^x \quad (b) \quad 2^{-x} \quad (c) \quad \frac{(x-1)^{7/2}(x+1)^{1/2}}{x^2 + 2}$$

求导 54 用对数求导法证明

$$\frac{d}{dx}(y_1y_2 \dots y_n) = \sum_{k=1}^n (y_1y_2 \dots y_{k-1}y_{k+1} \dots y_n)y'_k$$

因此求导 $x^3 e^{-2x} \sin \pi x$ 。

55 曲线的方程为

$$xy^3 - 2x^2y^2 + x^4 - 1 = 0$$

证明曲线在点 (1, 2) 处的切线斜率为 1。由此写出曲线在该点处切线的方程。这条切线与坐标轴交点的坐标是什么？

56 摆线（cycloid）是一个点 $p$ 在车轮滚动沿地面行进时于轮缘上描出的曲线。利用