在图 8.27 所示的坐标系中，证明该曲线具有参数表示

$$x = a(\theta - \sin \theta), \quad y = a(1 - \cos \theta)$$

其中 $\theta$ 是车轮转过的角度。

画出该曲线的草图。

求曲线在一般点 (x, y) 处的梯度。

图 8.27

如果车轮以恒定速度旋转，且 $\theta = \omega t$ ，其中 $\omega$ 为常数， $t$ 为时间，证明轮缘上该点的速度 $V$ 由下式给出

$$V(t) = 2a\omega \left| \sin \frac{1}{2} \omega t \right|$$

57 求双纽线

$$(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$$

在点 (x, y) 处切线的斜率。（参见复习题 2.12，第 19 题。）

58 使用对数求导法对下式求导

(a) $$(\ln x)^x$$      (b) $x^{\ln x}$

(c) $$(1 - x^2)^{1/2}(2x^2 + 3)^{-4/3}$$

59 用对数求导法求下列函数的导数

$$(a) \ x^3 e^{-2x} \ln x \qquad (b) \ \frac{1}{x} e^x \sin 2x$$

8.4 高阶导数

函数 f(x) 的导数 df/dx 本身也是一个函数，并且可能是可导的。导数的导数称为二阶导数，记作

$$\frac{d^2 f}{dx^2} \quad \text{or} \quad f''(x) \quad) \quad \text{or} \quad f^{(2)}(x)$$

二阶导数又可以继续求导，得到三阶导数，依此类推。一般地，n 阶导数记作

$$\frac{d^n f}{dx^n} \quad \text{or} \quad f^{(n)}(x)$$

8.4.1 二阶导数

在力学中，物体的位移对时间的二阶导数就是它的加速度，这被用于利用定律

质量 $$\times$$ 加速度 = 所受外力

对力学问题进行数学建模。

例 8.27 求由下式给出的函数的二阶导数

(a) $$y = 3x^4 - 2x^2 + x - 1$$      (b) $y = x/(x^2 + 1)$

(c) $$y = e^{-x} \sin 2x$$                      (d) $y = \frac{\ln x}{x}$