解 (a) 求一次导数得

$$\frac{dy}{dx} = 12x^3 - 4x + 1$$

再求一次导数得

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = 36x^2 - 4$$

(b) 这只需像上面那样求两次导数，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1(x^2 + 1) - 2x(x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

$$\begin{aligned} \text{Then } \frac{d^2 y}{d^2 x} &= \frac{(-2x)(x^2 + 1)^2 - 2(2x)(x^2 + 1)(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^4} \ &= \frac{(-2x)(x^2 + 1) - 4x(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3} \end{aligned}$$

(c) 这也只需求两次导数。应用乘积法则，我们有

$$\frac{dy}{dx} = (e^{-x})(2 \cos 2x) + (\sin 2x)(-e^{-x}) = e^{-x}(2 \cos 2x - \sin 2x)$$

再次应用该法则，我们得到

$$\begin{aligned}\frac{d^2y}{dx^2} &= (e^{-x})(-4 \sin 2x - 2 \cos 2x) + (2 \cos 2x - \sin 2x)(-e^{-x}) \ &= -e^{-x}(3 \sin 2x + 4 \cos 2x)\end{aligned}$$

(d) 这同样只需两次求导。应用商法则，我们有

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(1/x)x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

再次应用该法则，我们得到

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-(1/x)x^2 - (1 - \ln x)(2x)}{x^4} = \frac{2 \ln x - 3}{x^3} \quad (x \neq 0)$$

二阶导数可用命令

d2y = diff(y,2)

求得，三阶导数用命令

d3y = diff(y,3)

求得，更高阶导数依此类推。