考虑例 8.27(c)，命令

syms x y y = exp(–x)*sin(2*x); d2y = simplify(diff(y,2));

返回二阶导数为

$$d2y = -\exp(-x) (3\sin(2x) + 4\cos(2x))$$

例 8.28 证明

$$y = e^{-t}(A \cos t + B \sin t) + 2 \sin 2t - \cos 2t$$

满足方程

$$\frac{d^2y}{d^2t} + 2\frac{dy}{dt} + 2y = 10 \cos 2t$$

解 对 y 关于 t 求两次导数，得

$$\frac{dy}{dt} = e^{-t}[(A - B)\cos t + (A + B)\sin t] + 4\cos 2t + 2\sin 2t$$

$$\frac{d^2y}{dt^2} = e^{-t}[-2B \cos t + 2A \sin t] - 8 \sin 2t + 4 \cos 2t$$

因此

$$\frac{d^2y}{d^2t} + 2\frac{dy}{dt} + 2y = 10 \cos 2t$$

在使用参数微分或隐函数微分求二阶导数时，必须注意正确使用链式法则。该方法在例 8.29 中予以说明。

例 8.29 求

d d y x，其中 y 由下式给出

(a) $$y = t^2, x = t^3$$      (b) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

解 (a) 此处 $y = t^2$ 并且 $x = t^3$ 如例 8.21 所示，得到

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \frac{1}{t} \quad (t \neq 0)$$